Шарапов М.П. Как решать СЛУ с 2-мя неизвестными

Учебные материалы Шарапова М.П.

Веб-сайт: http://sharapovmp.ru,

http://www.sharapovmp.ru

Как решать системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Два простых способа решения простых систем

E-mail: autocad1012@yahoo.com

На подступах к пробуждению разума

Для самоподготовки по математике

Пример 1

Дана система:

Неизвестные:

x, y

Читается: «икс», «игрек».

Решить – найти значения неизвестных, для которых оба уравнения системы обращаются в тождества.

Значения неизвестных, для которых оба уравнения системы обращаются в тождества, называют КОРНЯМИ системы уравнений.

Обращаются – становятся.

Тождество – всегда верное равенство.

Пример тождества::

2 = 2

x = x

Решение нашей системы:

Проверим.

Действительно ли указанные значения неизвестных оба уравнения нашей системы обращают в тождества?

Такую проверку надо выполнять всегда после того, как найдете решение.

Подставим вместо икс и вместо игрек их значения - числа, которым равны икс и игрек.

В первое уравнение.

1 + 1 = 2

2 = 2

- Тождество?

- Да!

Во второе уравнение

1 – 1 = 0

0 = 0

- Тождество??

- Дальше некуда!!

Оба уравнения системы при подстановке значений неизвестных стали тождествами.

Значит, эти значения и есть искомые.

Ура!

- А найти-то их как?

- Чтобы не гадать.

Пример 1

Способ решения 1

Исключение неизвестного

Математики любят все упрощать.

Сводить новое к уже известному.

Если бы в уравнении было бы не два неизвестных, а – одно, мы бы решили бы такое уравнение.

Значит, надо сделать так, чтобы в уравнении осталось одно неизвестное.

Другое надо ИСКЛЮЧИТЬ.

Не – за плохое поведение, а, просто, чтобы было удобнее.

- Как исключить?

Мы не можем его просто не писать.

Потому, что тем самым мы исказим нашу систему.

Надо:

1. Выразить из одного уравнения какое-нибудь неизвестное.

2. Подставить полученное выражение вместо этого неизвестного в другое уравнение.

Попрактикуемся.

Что значит «выразить»?

Так тождественно преобразовать уравнение, чтобы исключаемое неизвестное, и только оно одно было бы в одной части уравнения, а все остальные члены – в другой.

Пример.

Из 1-го уравнения выражаем икс.

Первое уравнение:

X + y = 2

Выражаем икс.

Переносим игрек в правую часть.

Не забываем, что при этом знак перед игреком изменится с плюса на минус.

x = 2 - y

или

x=-y+3

Выразили икс.

Для нашей системы

Из 2-го уравнения:

x – y = 0

выразим икс.

Переносим игрек в правую часть.

Не забываем, что при этом знак перед игреком изменится с минуса на плюс.

x = y

Выразили икс.

Подставляем в 1-е уравнение вместо икс то, чему он равен.

y + y = 2

приводим подобные члены в левой части уравнения:

y + y = 2y

Значит, 1-е уравнение станет таким:

2y = 2

Выражаем игрек:

y = 2 : 2

Внимательно вычислим

y = 2 : 2 = 1

Одно неизвестное нашли.

Теперь вспоминаем, как икс выражался через игрек.

Вот так:

x = y

И вместо игрека подставляем свеженайденное значение.

x = y

x = 1

Нашли значение другого неизвестного.

Запишем ответ:

Надо сделать проверку.

Мы ее уже сделали раньше.

Пример 1

Способ решения 2

Исключение неизвестного

Методом сложения уравнений

Исключить неизвестное можно и по-другому.

Сложить два уравнения с таким расчетом, чтобы какое-либо неизвестное сократилось.

Или вычесть одно уравнение из другого с таким расчетом, чтобы какое-либо неизвестное сократилось.

- Как складывать?

У уравнения есть левая часть и правая часть.

УРАВНЕНИЕ и означает, что левая часть РАВНА правой.

Запишем математически:

Левая часть = правая часть.

Еще более кратко:

ЛЧ = ПЧ

У нас два уравнения.

У каждого своя левая часть и своя правая часть.

Чтобы не запутаться, пронумеруем их.

ЛЧ1 – левая часть 1-го уравнения.

ЛЧ2 – левая часть 2-го уравнения.

ПЧ1 – правая часть 1-го уравнения.

ПЧ2 – правая часть 2-го уравнения.

Система уравнений с такими обозначениями будет выглядеть так:

Нам пригодится правило:

Если к обеим частям равенства прибавить равные величины, равенство не нарушится.

Из этого следует другое правило:

Если к обеим частям УРАВНЕНИЯ прибавить равные величины, КОРЕНЬ УРАВНЕНИЯ не изменится.

Берем 1-е уравнение

ЛЧ1 = ПЧ1

Прибавляем к обеим частям его равные величины.

ЛЧ2 и ПЧ2.

Поскольку во 2-м уравнении написано:

ЛЧ2 = ПЧ2,

Значит, мы выполняем условия 2-го правила.

И корень уравнения, который мы найдем, поступая так, будет тот же самый, который мы нашли бы другим способом.

Складываем:

ЛЧ1 + ЛЧ2 = ПЧ1 + ПЧ2

В нашем случае:

ЛЧ1 = x + y

ЛЧ2 = x – y

ПЧ1 = 2

ПЧ2 = 0

Складываем:

ЛЧ1 + ЛЧ2 = x + y + x – y

ПЧ1 + ПЧ2 = 2 + 0

Приведем подобные члены

ЛЧ1 + ЛЧ2 = x + y + x – y = 2x

ИГРЕК сократился!

Внимательно вычислим:

ПЧ1 + ПЧ2 = 2 + 0 = 2

Помните:

ЛЧ1 + ЛЧ2 = ПЧ1+ П Ч2

Подставим сюда то, что мы навычисляли:

2x = 2

Мы исключили неизвестное игрек.

Решим уравнение:

2x = 2

Выразим икс:

x = 2 : 2

Внимательно вычислим:

x = 2 : 2 = 1

x = 1

Нашли одно неизвестное.

Чтобы найти другое неизвестное, подставим найденное значение ставшего уже известным, неизвестного в любое из исходных уравнений.

Подставим в 1-е уравнение:

x + y = 2

Вместо ИКС подставляем его значение

x ~~= 2~~

Получим

~~2 +~~ y ~~= 2~~

СТО-О-ОП!!! ОЙ-ОЙ-ОЙ!!!

Чтой-то я пишу?!

Два последних равенства неверны.

Автор ошибся, когда писал.

Но, проверяя свою писанину, нашел ошибки.

И зачеркнул их.

Но оставил их в назидание.

Чтобы показать, как легко сделать ошибку.

Проверяйте свои вычисления.

Итак, снова.

Вместо ИКС подставляем его значение:

x = 1

Единице, а не двойке!

Получим:

1 + y = 2

Выразим игрек.

Он должен остаться в левой части в полном одиночестве.

Перенесем единицу в правую часть.

И не забудем изменить знак перед единицей с плюса на минус.

Получим:

y = 2 – 1

Внимательно вычислим:

y = 2 – 1 = 1

Нашли другое неизвестное:

y = 1

Запишем ответ:

Надо сделать проверку.

Мы ее уже сделали раньше.