Учебные материалы Шарапова М.П.

 

Решение тригонометрического уравнения

2 + sin x cos x + (sin 2x + ) = 0

© Шарапов Михаил Петрович, 2022-05-24

 

Дано:

 

Уравнение

2 + sin x cos x + (sin 2x +) = 0

 

 

Требуется:

 

1.     Решить уравнение

2 + sin x cos x + (sin 2x +) = 0

2.     Найти корни уравнения

2 +  sin x cos x + (sin 2x + ) = 0,

принадлежащие промежутку

[; ].

 

 

Решение

 

Исходное уравнение

2 + sin x cos x + (sin 2x + ) = 0,

 

Готовой формулы для решения такого уравнения нет.

Для уравнения, например, такого:

 

sin x = 0,

 

есть, а для «нашего» уравнения нет.

Именно поэтому ее и предлагается вывести, т.е. – решить исходное уравнение.

 

Преобразуем уравнение.

Выразим sin 2x:

 

sin 2x = 2sin x cos x.

 

Вместо sin 2x в исходное уравнение подставим 2sin x cos x.

Получим:

2 + sin x cos x + (2sin x cos x + ) = 0.

 

В выражении есть суммы произведений, имеющих общие множители.

Сгруппируем первые два слагаемых:

2 + sin x cos x

и вынесем множитель sin x за скобки.

Получим:

 

2 + sin x cos x = (sin x)(2 sin x + cos x).

 

Сгруппируем два других слагаемых.

 

2sin x cos x + 

 

и вынесем множитель cos x за скобки.

Получим:

 

2sin x cos x + = (cos x)(2 sin x + cos x).

 

Исходное уравнение стало таким:

 

(sin x)(2 sin x + cos x) + (cos x)(2 sin x + cos x) = 0.

 

Заметили еще один общий множитель?

Вот он:

 

(2 sin x + cos x).

 

Вынесем его за скобки.

А, что еще делать с общим множителем!?

Исходное уравнение станет выглядеть так:

 

 (2 sin x + cos x)( sin x + cos x) = 0.

 

Произведение двух выражений равно нулю.

Значит, либо первое выражение равно нулю, либо – второе, либо оба вместе.

 

«Либо» означает совокупность двух уравнений, а не систему.

Запишем совокупность.

 

 

 

Решаем уравнения по порядку.

 

 

Решаем первое уравнение:

 

 

Помечтаем.

Можно выразить cos x через sin x.

Возникнет квадратный корень.

Придется возводить в квадрат.

Получится квадратное уравнение относительно sin x.

 

Попробуем по-другому.

 

Есть формула:

 

a sin x + b cos x = sin(x + α)

, где α = arctg

 

 

В выражении

 

 

a = 2,

 b = 1,

 

значит, по приведенной формуле:

 

=sin(x + α)

, где α = arctg .

 

Уравнение

 

 

превратилось в такое:

 

sin(x + α) = 0.

 

На

 

можно поделить обе части уравнения.

Справа по-прежнему будет ноль.

Получим:

 

sin(x + α) = 0.

 

Решение этого уравнения:

 

x + α = πk

, где k Z.

 

Выразим икс:

 

x = - α + πk

, где k Z,

α = arctg .

 

Окончательно решение уравнения

 

 

выглядит так:

 

x = - arctg  + πk

, где k Z.

 

Но к «альфе» еще придется вернуться.

 

 

Решаем второе уравнение совокупности.

 

 

Снова применим формулу

 

a sin x + b cos x = sin(x + α)

, где α = arctg

.

 

На этот раз для выражения:

 

 

a = 1,

b = ,

 

значит, по этой формуле

 

, где α = arctg .

 

Значит, уравнение

 

 

станет таким:

 

.

 

На

 

 

можно поделить обе части уравнения.

Если посчитать,

 

=2.

 

Но можно и не считать – все равно делить.

Справа по-прежнему будет ноль.

Уравнение

 

 

 

станет таким:

 

, где α = arctg .

 

Если поделить на 1, получим:

 

α = arctg .

 

А, если вспомнить табличное значение:

 

 = .

 

Значит:

 

arctg  = .

 

Уравнение

 

 

решаем так же, как предыдущее, только «альфа» имеет другое значение.

 

x + α = πk

, где k Z,

 

Выразим икс:

 

x = - α + πk

, где k Z,

α = .

 

Окончательно решение уравнения

 

 

 

выглядит так:

 

x = -  + πk

, где k Z.

 

Объединим полученные решения в совокупность:

 

.

 

Это - ответ на первое задание (решить уравнение).

 

 

Займемся вторым вопросом.

 

Найти корни уравнения

2 + sin x cos x + (sin 2x +) = 0,

принадлежащие промежутку

[; ].

 

Вспомним, что корни уравнения определяются по формулам:

 

 

и

 

.

 

Корней бесконечно много, но нас просят отобрать только корни, принадлежащие промежутку

[; ]..

 

Фактически, требуется определить, для каких значений параметра «k», корни попадут в промежуток [; ].

 

Конечно, надо корни изобразить точками на окружности.

(Единичная окружность или нет, в данном случае неважно. Главное, что она – круглая. И эта ее «круглость» правильно показывает периодичность тригонометрических функций.)

 

Где на окружности точка, соответствующая углу

 

 

Сравним этот угол с углами, тангенсы которых имеют табличные значения.

Поскольку речь идет об арктангенсе, заодно вспомним значения тангенса соответствующих углов.

 

tg 0 = 0

tg  =

tg  = 1

tg  =

 

Угол альфа, который нас интересует, имеет тангенс, равный одной второй:

 

 

 

Тангенс – функция возрастающая.

И, т.к. значение 

 

 < 1

 

и

 

,

 

альфа лежит в пределах от 0 до .

 

Как, насчет

Сравним

 

 

 

Возведем каждое из сравниваемых чисел в квадрат, получим:

 

 

 

Т.к.

 

 <,

 

следовательно:

 

 <.

 

Следовательно:

 

 <.

 

Можно рисовать окружность.

Она изображена на рисунке 1.

трикр.png

Рисунок 1 Окружность.

 

Что на рисунке.

Окружность.

Что за точки:

Точка О – центр окружности.

Точка А соответствует нулевому углу, а также углам .

Точка B соответствует углу AOB. Величина этого угла является корнем уравнения:

 

2 sin x + cos x = 0,

 

и принимает значения:

 

 

Кстати, в AOB OA = 2 AB. Для наглядности, отрезок AB специально проведен перпендикулярно отрезку OA, чтобы △AOB  был прямоугольным.  Длина отрезка AB выбрана в два раза меньшей длины отрезка OA для того, чтобы

 

tg AOB =  .

 

Следовательно

 

AOB = .

 

Здесь угол отсчитываем по часовой стрелке.

Точка C соответствует углу

Точка D соответствует углу AOD. Величина этого угла является корнем уравнения:

 

sin x + cos x = 0,

 

и принимает значения:

 

.

 

Точка E соответствует углу AOE. Величина этого угла является корнем уравнения:

 

2 sin x + cos x = 0,

 

и принимает значения:

 

 

Точка F соответствует углу

Точка G соответствует углу AOG. Величина этого угла является корнем уравнения:

 

sin x + cos x = 0,

 

и принимает значения:

 

.

 

Для того чтобы наглядно показать как незначительно отличаются величины , на рисунке 1 указаны величины углов AOB и AJC, отсчитанные по часовой стрелке.

Заштрихованная область соответствует  промежутку [; ].

Из рисунка видно, что условию задания 2 удовлетворяют углы, соответствующие точкам E и D.

Корни исходного уравнения, принадлежащие промежутку [; ]:

 и .