Учебные материалы Шарапова М.П.

Веб-сайт: http://sharapovmp.ru,

http://www.sharapovmp.ru

Новогодние задачи

© Шарапов Михаил Петрович, 2023

E-mail: autocad1012@yahoo.com

На подступах к Новому 2024 году

Для самоподготовки по математике к Новому 2024 году

Задача 1

Найдите остаток от деления

2024²⁰²⁴ на 2023.

Задача 2

Вычислите:

1 + 2 + 3 + 4 + 1 + 2 + 3 + 4 + … + 1 + 2 + 3 + 4

Всего 2024 слагаемых.

Задача 3

На плоскости даны 2024 отрезка прямых.

Все разной длины.

Длины их равны целым числам от 1 до 2024, включительно.

По-разному располагая эти отрезки на плоскости, составляют треугольники.

Найдите максимальную сумму всех периметров треугольников, которые можно составить из этих отрезков.

Задача 4

Какое максимальное количество квадратов можно образовать на плоскости, расположив на ней 2024 равных отрезка прямых?

Задача 5

В начальный момент времени транспорт «Дед Мороз» находится в начале координат 2024-х мерного пространства.

Через 5 секунд он должен прибыть в точку выброса подарков с координатами:

(1, 1, 1, … 1, 0, 0, 2).

Первые 2021 координата равны 1.

Каждая единица координатной системы составляет 1 км.

Найдите 2024-ю координату вектора скорости, который надо мгновенно задать, для равномерного и прямолинейного перемещения в заданную точку за указанное время в 2024-х мерном пространстве скоростей, где, как известно, одна единица координатной системы составляет 1 км/с.

Задача 6

Найдите sin a, если a = 2024! угловых аттосекунд.

Задача 7

Даны числа:

a = sin 2024˚,

b = tg 2024˚.

Какое из чисел больше: ab или a/b?

Задача 8

«Миром правят числа» (Пифагор Самосский)

Известный секретный математик, последователь Пифагора – Пиф Паф разработал тайный алгоритм для определения Числа, Управляющего Миром (ЧУМ).

Вот выдержка из его трактата «Цифра Мира»:

«… пец! Ты хочешь узнать Число, Управляющее Миром?

- 1. Выпиши подряд все номера годов, начиная с 0, до интересующего тебя года.

2. Сначала ЧУМ = 0.

3. Возьми 1-ю цифру Ц. Сначала Ц = 0.

4. Определи новое значение ЧУМ по формуле:

ЧУМ = ЧУМ – Ц, если ЧУМ – Ц > или = 0,

ЧУМ = ЧУМ + Ц, если ЧУМ – Ц < 0.

5. Перейди к следующей Цифре и сделай то же.

6. Дойди до последней цифры прежде, чем прилив смоет цифры и ты узнаешь, что хотел».

Вычислите ЧУМ в 2024 году.

Задача 9

Аспирант Пифа Пафа – Ас Пиф в журнале «Счастье мира», № 12 за 2023 г. опубликовал алгоритм определения Числа, Управляющего Счастьем Мира.

По мнению Ас Пифа для этого необходимо, найдя ЧУМ по алгоритму Пифа, см. задачу 8, взять ЧУМ в качестве начального и выполнить описанный алгоритм, выбирая цифры, начиная с последней до первой.

Найдите Число, Управляющее Счастьем Мира в 2024 г.

Задача 10

Дана система 2024 линейных уравнений с 2024 неизвестными.

x₁ + x₂ = 2024

x₂ + x₃ = 2024

…

x₂₀₂₃ + x₂₀₂₄ = 2024

x₁ + 2024x₂₀₂₄ = 2024.

Во всех уравнениях, кроме последнего, коэффициенты при всех неизвестных равны 1.

Найдите

x₁₀₀₀ .

Задача 11

Дана система 2024 линейных уравнений с 2024 неизвестными.

x₂ + x₃ + … + ₂₀₂₄ = 1

x₁ + x₃ + … + ₂₀₂₄ = 1

…

x₁ + x₂ + … + ₂₀₂₃ = 1

Во всех уравнениях коэффициенты при всех неизвестных равны 1.

Найдите

x₁₀₀₀ .

Задача 12

Какова должна быть минимальная размерность Евклидова пространства для того, чтобы в нем можно было бы расположить 2024 точки так, чтобы все попарные расстояния между ними были равны между собой?